Inhalt:
„Mach‘ dir keine Sorgen wegen deiner Schwierigkeiten mit der Mathematik. Ich kann dir versichern, dass meine noch größer sind.“
(Albert Einstein)1
Denken
Das logische Denken ist uns angeboren. Da Mathematik auf Logik beruht, Mathematik quasi die Ausgeburt der Logik ist, können wir alle Mathe.
Ok, jetzt wird wieder jemand protestieren.
Aber die Wahrheit tut manchmal weh. Wir alle sind geborene Mathematiker und Mathematikerinnen – und Aufgabe der Schule ist es, uns etwas anderes glauben zu lassen.
Die meisten Probleme werden gemacht, um sie dann wieder verschwinden zu lassen.
Diese Aussage beruht auf Erfahrung. Ich unterrichte seit über 25 Jahren Mathematik als Nachhilfelehrerin für Menschen bis zum ersten oder zweiten Semester ihres Studiums (jemand im 3. Semester war noch nie da). Ich kann Mathematik, wie auch Finanzmathematik oder Statistik.
Warum kann ich besser Mathe, als die meisten, habe ich mich oft gefragt. Ich beobachtete Menschen, die Probleme haben in Mathematik und solche, denen Mathe leicht fällt. Ich beobachtete mich und meine Denkvorgänge.
Einst dachte ich, Mathematik hätte etwas mit Intelligenz zu tun, doch stellte ich durch Selbstbeobachtungen fest: Das hat es nicht. Meine überraschende Erkenntnis: Wenn ich Matheaufgaben löse, denke ich gar nicht nach. Es gibt keinen Denkvorgang im eigentlichen Sinne, es ist ein reines Abrufen von gespeicherten Wissen.
Mathematik ist ein Handwerk.
Und Mathematik ist Meditation, interessanterweise.
Es gibt ein herausragendes (eigentlich zwei, aber es soll hier um dieses eine gehen) Merkmal von Menschen, die „schlecht“ in Mathematik sind: Sie denken sehr lange über Mathematikaufgaben nach. Dadurch „erkennen“ sie Probleme, wo keine sind, fangen an zu grübeln und verzweifeln. Zudem werden sie in Klassenarbeiten nicht fertig, weil sie zu lange über eine Aufgabe nachdenken.
Um besser zu werden in Mathematik müssen sie also lernen, dieses „Denken“ zu unterlassen.
Wenn ich sie frage: Was ist 3 mal 3? Und Sie sagen: 9! War das ein mühevoller Denkvorgang oder haben Sie es spontan gesagt? Sie haben einfach nur Wissen aus dem Speicher abgerufen.
Mathematik, das sind einfach nur unendlich viele Plus-Rechnungen, die man als Mal-Rechnungen schreiben kann, bzw. unendlich viele Minus-Rechnungen. Wir lernen sie auswendig, rufen sie aus dem Speicher ab und schreiben sie hin. Das ist alles.
Je „besser“ ein Mensch „rechnen kann“, desto weniger rechnet er. Je „besser“ ich werde, desto schlechter werde ich im Rechnen, weil ich nichts mehr „rechne“, sondern nur noch Wissen aus meinem Speicher abrufe.
Dies kann man auch auf höhere Mathematik übertragen. Es gibt Regeln, Formeln. Wir rufen sie ab, setzen ein, rechnen aus. Das ist alles. Je „besser“ ich werde, desto weniger kann ich. Mein „Können“ wird mehr und mehr zu einem bloßen Speicherabruf. Deshalb bin ich auch so schnell und deshalb muss ich nicht „nachdenken“ (im landläufigen Sinne), sondern kann Aufgaben recht rasch lösen. Man hält mich dann für „intelligent“, doch ist die Denkleistung bei Menschen, die nicht so gut Mathematik können, deutlich höher.
Der größte Fehler, den viele Menschen machen, ist tatsächlich das Nachdenken, denn das ist ein kreativer Prozess, doch Mathematik ist nicht kreativ, Mathematik ist Logik. Deshalb lässt sich jeder Schritt aus dem vorherigen Schritt herleiten, bzw. ergibt sich daraus und der Rest ist Speicherabruf.
Akzeptiere also, dass du ein Kind der Logik bist und höre auf zu denken – schon kannst du Mathe.
In der Mathematik zu stehen, ist wie in einer Armee oder Diktatur zu sein. Die Mathematik gibt vor, was man zu tun hat und das muss man tun. Nachdenken schadet, bzw, verhindert die Gefolgschaft.
Wer gut sein möchte in Mathematik, gibt sich quasi der Mathematik hin und schaltet das Denken aus – und das nennt man Meditation.
Kreativität
Verbunden mit dem „Denken“ ist bei schlechten Mathematikerinnen und Mathematikern, eine hohe Kreativität. Diese führt leider zum „Erkennen“ von Problemen, die nicht da sind und zu „kreativen“ Lösungswegen, die ins Nichts führen.
Denken und Kreativität sind eins. Echte „Denkarbeit“ ist eigentlich nur nötig, wenn ich ein Problem lösen möchte, das ich noch nie löste und deshalb „kreative“ Lösungswege benötige. Mit Kreativität löst man neue Probleme, alte, wie Mathematik-Aufgaben, mit Speicherabruf oder „Nachmachen“.
Wittgenstein
Das Traktat – Ausschnitte
Wittgenstein erklärt vieles schön in seinem Traktat2.
- „2.012 In der Logik ist nichts zufällig: Wenn das Ding im Sachverhalt vorkommen kann, so muss die Möglichkeit des Sachverhaltes im Ding bereits präjudiziert sein.
- 3.03 Wir können nichts Unlogisches denken, weil wir sonst unlogisch denken müssten.
- 5.133 Alles Folgern geschieht a priori.
- 5.442 Wenn uns ein Satz gegeben ist, so sind mit ihm auch schon die Resultate aller Wahrheitsoperationen, die ihn zur Basis haben, gegeben.
- 6.1251 Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben.
- 6.1261 In der Logik sind Prozess und Resultat äquivalent. (Darum keine Überraschung.)
- 6.1265 Immer kann man die Logik so auffassen, dass jeder Satz sein eigener Beweis ist.
- 6.2 Die Mathematik ist eine logische Methode.
Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze. - 6.24 Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen zu kommen, ist die Substitutionsmethode.
Denn die Gleichungen drücken die Ersetzbarkeit zweier Ausdrücke aus, und wir schreiten von einer Anzahl von Gleichungen zu neuen Gleichungen vor, indem wir, den Gleichungen entsprechend, Ausdrücke durch andere ersetzen. […]
Alle Sätze der Logik sagen aber dasselbe. Nämlich nichts - 6.5 Zu einer Antwort, die man nicht aussprechen kann, kann man auch die Frage nicht aussprechen.
Das Rätsel gibt es nicht.
Wenn sich eine Frage überhaupt stellen lässt, so kann sie auch beantwortet werden.“
Folgerungen
Auch mathematische Aufgaben sind nicht nur Aufgabe und Frage, sondern auch Lösung und Antwort.
Da sie logisch lösbar sein müssen, muss alles zur Lösung Nötige gegeben sein. Somit ist die Lösung gegeben.
Es geht bei der „Lösung“ mathematischer Aufgabenstellungen also nicht darum, die Lösung zu finden, sondern den Lösungsweg sichtbar zu machen, die enthaltene Lösung deutlich werden zu lassen.
In der Mathematik, vor allem bei schulischen Aufgaben, sind wir Menschen quasi die Hebammen, die das Kind zur Welt bringen, das schon da ist. Wir erzeugen es nicht durch das, was wir tun, wir bringen es nur ans Licht und machen den Inhalt der Aufgabe für alle sichtbar.
Und so, wie das Kind zur Welt kommt, wir es nur unterstützen, so kommt quasi auch die „Lösung“ zur Welt, wir unterstützen sie nur, weil sie sich nicht selbst schreiben kann.
Wir können der Mathematik vertrauen, dass sie uns ans Ziel führen wird, wenn wir unseren Part leisten. Es gibt nur einen Weg und den müssen wir uns geleiten lassen.
Oder zurück zum Anfang: „drei mal fünf ist fünfzehn“. Fünfzehn ist die Lösung von „drei mal fünf“. Sie steckt in „drei mal fünf“, sie ist also auch schon da, ohne uns. Wir schreiben sie lediglich hin oder sprechen sie laut aus. Wir lassen sie für andere sichtbar oder hörbar werden.
Menschen, die viel „nachdenken“, betreiben meist Philosophie, keine Mathematik. Genaugenommenen „tut“ man Mathematik nicht, man „verwirklicht“ sie nur.
Mathematik
Mathematik ist ein Teil der Logik und als solche eine Diktatur. Sie lässt keinen Spielraum für Interpretationen. Aus dem Einen folgt stets das Andere. Wir können nicht einfach „kreativ“ einen anderen Lösungsweg nehmen. Alles muss der Logik gehorchen.
Also muss auch ich, als Mensch, der eine Aufgabe „lösen“ möchte, mich völlig der Logik unterwerfen, mich einer Diktatur unterwerfen. Ich werde zu einer Soldatin, die den Befehlen des Generals gehorchen muss, ohne diese zu interpretieren oder darüber zu diskutieren.
Diese Befehle sind die Aufgabenstellung. Ich muss sie lediglich ausführen.
Um das zu können, muss ich wissen, welche Bedeutung bestimmte Worte oder Teilsätze in der Mathematik haben, welche Befehle sie bedeuten und dann führe ich sie aus.
Ich denke nicht, ich tue, was man von mir verlangt.
Zen und Mathematik
Im Zen3 geht es darum, das Denken zu überwinden. Auch in vielen asiatischen Kampfsportarten oder der Meditation4 ist dies ein wichtiger „Weg“ um sein Ziel zu erreichen. Denken ist hier das, was uns am Handeln hindert, was uns verunsichert, uns langsam werden lässt.
Gerade im Kampf ist es wichtig, zu kämpfen, ohne zu denken, um schneller reagieren zu können. In der Kunst des Bogenschießens5 geht es darum, zu schießen, darauf zu vertrauen, zu treffen, weil mein Körper, mein ich (wie auch immer man es nennen möchte) das nötige Wissen und Können besitzt, und somit ein bewusstes „Denken“ nicht mehr notwendig ist.
Um das Denken seinlassen zu können, muss man jedoch üben. Unser Gedächtnis muss alle Bewegungen, alle Handlungen kennen, um sie auf Abruf ausführen zu können. So, wie wir bei „drei mal fünf“ nicht mehr rechnen, keine echte Denkleistung mehr vollbringen müssen, sondern sofort „fünfzehn“ sagen.
Bei mathematischen „Aufgaben“ sehe ich den Lösungsweg vor mir, sobald ich die Aufgabe lese. Auch bei mir erfolgt kein Nachdenken mehr im eigentlichen Sinne. Ich bin schnell, weil ich diesen Schritt überspringen kann.
Wir sollten unseren Schülerinnen und Schülern Mathematik beibringen, so, wie man im Zen Bogenschießen lernt. So heißt ein Buch über Bogenschießen nicht umsonst: „Intuitiv Bogenschießen – Die Kunst, sich nicht selbst im Weg zu stehen“6. Und genau das, habe ich häufig beobachtet: Wer Probleme hat in Mathematik, steht sich selbst im Weg.
„3.03 Wir können nichts Unlogisches denken, weil wir sonst unlogisch denken müssten.“7
(Wittgenstein)
Als Menschen können wir alle logisch denken8. Könnten wir das nicht, wären wir vielleicht schon nicht mehr am Leben.
Da wir alle logisch denken können, und da Mathematik ein Teilgebiet der Logik darstellt, können wir prinzipiell alle Mathematik. Es könnte sogar sein, dass wir es nicht lernen müssen, wir müssen nur lernen, die Sprache der Mathematik(er) zu verstehen, also lernen, die Worte, die sie benutzt, in logische Operationen und mathematische Zeichen zu übersetzen. Dies kann man lernen, wie man Vokabeln lernt.
Das Anwenden lernt man ähnlich dem genannten Bogenschießen oder des Einschlagens eines Nagels mit einem Hammer: Durch wiederholtes Üben des immer wieder gleichen Vorgangs bzw. Lösungsweges. Dann wendet man das Gelernte an, ohne langes Nachdenken, weil man es nur noch ausführen muss mit Hilfe des Speicherabrufs oder Vertrauens in das „intuitive“ Können.
Auswendiglernen und Einüben „ersetzt“ das „Nachdenken“ und lässt uns scheinbar „intuitiv“ Aufgaben lösen, so meine These.
Biologie: Der Motorkortex und das Lernen
Es gibt zahlreiche Untersuchungen zur Aktivität des Motorkortex beim Sprechen, Denken und Zuhören9. Unser Motorkortex ist bei Denkvorgängen, beim Sprechen und Zuhören aktiv. Es liegt nahe anzunehmen, dass wir Bewegungen abspeichern, bzw. Gedanken, Worte etc. evtl. als Bewegungen speichern. Dies führt uns zurück zum Bogenschießen und der Nicht-Notwendigkeit des „Denkens“ (im landläufigen Sinne), um zur Lösung von Problemen und Aufgaben zu gelangen.
Wenn wir Lösungswege einüben, mathematische Aufgaben von Hand, mit einem Stift und Papier lösen, üben wir den Lösungsweg auch motorisch ein. Es erfolgt wahrscheinlich auch eine motorische Speicherung, nicht nur eine reine Wissensspeicherung.
Auch zeigen – leider nur wenige – Untersuchungen10 einen engen Zusammenhang zwischen dem Rechnen mit Fingern und mathematischen Fähigkeiten. Es sei ein Zitat stellvertretend genannt:
„These findings provide the first evidence that the brain circuits involved in finger representation also underlie arithmetic operations in adults.“11
(„Diese Ergebnisse liefern den ersten Beweis dafür, dass die an der Fingerrepräsentation beteiligten Gehirnschaltungen auch arithmetischen Operationen bei Erwachsenen zugrunde liegen.“)
Mathematische Kenntnisse erlangen wir also nicht nur durch das Denken und Verstehen, sondern auch durch ein Handeln. Das Lernen von Mathematik hat demnach nicht (nur) mit logischem Denken zu tun, sondern auch damit, wie wir den Motorkortex mit stimulieren, bzw. nutzen. Wenn wir hohe mathematische Kenntnisse als etwas sehen, das wir als „Intelligenz“ bezeichnen, dann kann Intelligenz durch ein Handeln gesteigert werden, bzw. durch motorisches Tun.
Beim Gleichungenlösen durchlaufen wir immer wieder die gleichen Schritte:
- Abschreiben
- Klammern auflösen
- Zusammenfassen
- +/- (häufig: „Auf eine Seite bringen, oder Zahlen auf die eine, x auf die andere)
- ·/: (wenn nötig)
- Je nach Gleichung:
quadratisch: Lösungsformel
linear: x=…
Ich vermute, dass wir die einzelnen Schritte durch häufiges schriftliches Wiederholen auch in unserem Bewegungsgedächtnis abspeichern, doch ist dies schwierig zu untersuchen.
Mir passiert es häufig, dass ich, wenn ich zwei Zahlen übereinander schreiben muss (z.B. bei Anwendung der Bernoulli-Formel12), automatisch dazwischen einen Bruchstrich mache, den ich dann rasch entferne. Erst im Zeichnen des Striches wird mir bewusst, was ich tue. Es scheint sich in einem unbewussten Bereich eingeprägt zu haben, dass ich einen Strich zwischen zwei übereinander stehenden Zahlen zeichnen muss. Könnte es ein abgespeicherter Bewegungsablauf sein?
Folgerungen
Im Mathematikunterricht sollten verstärkt „Medien“ eingesetzt werden, die motorische Handlungen erfordern. Schülerinnen und Schüler müssen angehalten werden mit Fingern zu rechen, oder ähnliche Hilfsmittel zu benutzen, wie z.B. einen Abakus. Je mehr „Selbst-machen“ in einem frühen Stadium möglich ist, desto besser die späteren mathematischen Fähigkeiten.
Auswendiglernen ist wichtig auf allen Ebenen. Vieles in der Mathematik kann man wie Vokabeln lernen. Alles, was man auswendig lernen kann, sollte zum Auswendiglernen angeboten werden.
In allen mathematischen Aufgabenstellungen genügt die Kenntnis „Was ist gegeben?“ um den Lösungsweg zu bestimmen. Lösungsschemata von Aufgaben müssen erarbeitet werden. Abläufe müssen verstärkt trainiert werden, wie z.B. das Gleichungenlösen.
Ein Klassiker ist für mich die Parabelaufgabe in der Realschulprüfung oder die e-Funktionsaufgabe im klassischen Abitur. Es gibt nicht sehr viele Möglichkeiten an Aufgabenstellungen, so dass man die verschiedenen Lösungswege einüben kann.
Wenn ich Recht habe, könnte man durch einen anderen Mathematikunterricht mehr Menschen zu einem besseren Verständnis für Mathematik verhelfen und Lehrkräfte entlasten.
Dies könnte den Effekt haben, dass sich mehr Menschen an MINT-Fächer heranwagen und den Mut haben, diese zu studieren oder darin eine Ausbildung zu machen.
Meist herrscht der Aberglaube, dafür extrem intelligent sein zu müssen. Doch wenn Menschen Wege lernen, etwas zu können, es quasi als Handwerk zu lernen, müssen sie keine Angst mehr haben, nicht intelligent genug für diese Studiengänge zu sein und bekommen nützliches, Sicherheit gebendes Handwerkszeug mit auf den Weg.
“If teachers take into account these effects, it could lead to a reduction of the gender gap in achievement, especially in science and math,” said Dr. Sand. “It is clear how important encouragement is for both boys and girls in all their subjects. Teachers play a critical role in lowering and raising the confidence levels of their students, which has serious implications for their futures.” (Lavy/Sand13)
(“Wenn Lehrer diese Effekte berücksichtigen, könnte dies zu einer Verringerung der geschlechtsspezifischen Leistungsunterschiede führen, insbesondere in Naturwissenschaften und Mathematik”, sagte Dr. Sand. “Es ist klar, wie wichtig Ermutigung für Jungen und Mädchen in all ihren Fächern ist. Lehrer spielen eine entscheidende Rolle bei der Senkung und Erhöhung des Vertrauens ihrer Schüler, was schwerwiegende Auswirkungen auf ihre Zukunft hat.”)
Fußnoten und Quellenangaben
1Tim Reichel, „99 Zitate von Einstein übers Lernen, Lieben und Leben“, studienscheiss.de (blog), 16. März 2016, https://www.studienscheiss.de/zitate-albert-einstein/.
2Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus: logisch-philosophische Abhandlung (Frankfurt am Main: Suhrkamp, 1963).
3Siehe u.a. Daisetz Teitaro Suzuki, C. G. Jung, und Felix Schottlaender, Die grosse Befreiung: Einführung in den Zen-Buddhismus, 20. Aufl (München: Barth, 2003).
4Siehe z.B.: Johannes F Boeckel, Meditationspraxis: [ein Weg zur Besinnung und Selbstfindung] ; Techniken und Methoden (München: Orbis-Verl., 1989).
5Eugen Herrigel, Zen in der Kunst des Bogenschießens, Neuausg (Frankfurt, M.: Barth, 2011).
6Manfred Herrmann, Intuitiv Bogenschießen – Die Kunst, sich nicht selbst im Weg zu stehen, 1. Aufl. (Independently published, ebubli, 2018).
7Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus.
8Sicherlich gibt es Menschen, mit eingeschränkten Gehirnfunktionen. Doch auch sie sind zu logischem Denken prinzipiell in einem gewissen Rahmen fähig.
9Eine kleine Auswahl dazu findet sich im Anhang unter den Literaturangaben unter „Fehler: Verweis nicht gefunden“ auf Seite Fehler: Verweis nicht gefunden
10Michael Andres, Nicolas Michaux, und Mauro Pesenti, „Common Substrate for Mental Arithmetic and Finger Representation in the Parietal Cortex“, NeuroImage 62, Nr. 3 (1. September 2012): 1520–28, https://doi.org/10.1016/j.neuroimage.2012.05.047; Nadja Tschentscher u. a., „You Can Count on the Motor Cortex: Finger Counting Habits Modulate Motor Cortex Activation Evoked by Numbers“, NeuroImage 59, Nr. 4 (15. Februar 2012): 3139–48, https://doi.org/10.1016/j.neuroimage.2011.11.037; Michael Andres, Xavier Seron, und Etienne Olivier, „Contribution of Hand Motor Circuits to Counting“, Journal of Cognitive Neuroscience 19, Nr. 4 (April 2007): 563–76, https://doi.org/10.1162/jocn.2007.19.4.563.
11Andres, Michaux, und Pesenti, „Common Substrate for Mental Arithmetic and Finger Representation in the Parietal Cortex“.
13Victor Lavy und Edith Sand, „On the Origins of Gender Gaps in Human Capital: Short- and Long-Term Consequences of Teachers’ Biases“, Journal of Public Economics 167 (1. November 2018): 263–79, https://doi.org/10.1016/j.jpubeco.2018.09.007.